technical_notes/gmredi/gmredi.dvi

÷ƒ’À;è TeX output 2001.05.20:2129‹ÿÿÿÿ x€ ý¤€‘'ó}h!Ócmsl12ÈAdcroft–ê¨&“Hill‘^{Redi/GM/Gries“sc¬rheme“in“the“MIT“OGCM‘9ÕŒóX«Qcmr12¹1ŽŽ =€ ýèuÂ‘: HóÂÖN G®cmbx12»Implemen‘ÿuÂtation–záof“the“GM/Redi/GriesŽŸQê‘rusc‘ÿuÂhemes–záin“the“MIT“OGCMŽŸá’––¨óX«Qffcmr12¼A.Adcroft–³/and“C.Hill,“MITŽŸ     +’ÌU7July‘³/2000ŽŸ(V‘'»1Ž‘D(ôOv‘ÿuÂerviewŽŸb#‘'¹There–r+are“t•¬rw“o–r+parts“to“the“Redi/GM‘rparameterization“of“geostrophic“eddies.Ž¤€‘'The–
ørst“aims“to“mix“tracer“propšSŽerties“along“isen¬rtrop˜es“(neutral“surfaces)Ž¡‘'bš¬ry–{Émeans“of“a“diusion“opSŽerator“orien˜ted“along“the“loSŽcal“isen˜tropic“surfaceŽ¡‘'(Redi).‘mThe–üsecond“part,‘@kadiabatically“re-arranges“tracers“through“an“ad-Ž¡‘'v•¬rectiv“e–
ux“where“the“advš¬recting“
o˜w“is“a“function“of“slopSŽe“of“the“isen˜tropicŽ¡‘'surfaces‘ê¨(GM).Ž¡‘8ŸôThe–Ó˜rst“GCM‘ÓQimplemenš¬rtation“of“the“Redi“sc˜heme“w˜as“b˜y“Co˜x“1987“in“theŽ¡‘'GFDL‘<tošSŽcean–<‰circulation“mo˜del.‘.‚The“original“approac¬rh“failed“to“distinguishŽ¡‘'bSŽet•¬rw“een›óisop“ycnals˜and˜surfaces˜of˜lo•SŽcally˜referenced˜p“oten•¬rtial˜densit“y˜(no“wŽ¡‘'called–lºneutral“surfaces)“whicš¬rh“are“propSŽer“isen˜tropšSŽes“for“the“o˜cean.‘æAs“will“b˜eŽ¡‘'discussed–¸ñlater,‘ì„it“also“appSŽears“that“the“Coš¬rx“implemen˜tation“is“susceptibleŽ¡‘'to–Zõa“computational“mošSŽde.‘    ‰ÆDue“to“this“mo˜de,‘·the“Coš¬rx“sc˜heme“requires“aŽ¡‘'bacš¬rkground–8lateral“diusion“to“bSŽe“presen˜t“to“conserv˜e“the“in˜tegrit˜y“of“theŽ¡‘'moSŽdel‘ê¨elds.Ž¡‘8ŸôThe–ÎðGM›Îsparameterization“w¬ras“then“added“to“the“GFDL˜coSŽde“in“theŽ¡‘'form–£sof“a“non-div•¬rergen“t–£sbšSŽolus“v•¬relo˜cit“y‘ÿV.‘
cAThe–£smetho˜d“denes“t•¬rw“o‘£sstream-Ž¡‘'functions–Uexpressed“in“terms“of“the“isoneutral“slopšSŽes“sub‘§ject“to“the“b˜oundaryŽ¡‘'condition–}‹of“zero“v‘ÿXäalue“on“uppšSŽer“and“lo•¬rw“er–}‹b˜oundaries.‘The“horizon¬rtal“b˜olusŽ¡‘'vš¬reloSŽcities–€Ware“then“the“v˜ertical“deriv‘ÿXäativ˜e“of“these“functions.‘      ùìHere“in“liesŽ¡‘'a–        ˆproblem“highlighš¬rted“b˜y“Gries“et“al.,‘QA1997:‘v¡the“bSŽolus“v˜eloSŽcities“in˜v˜olv˜eŽ¡‘'m•¬rultiple›êXderiv‘ÿXäativ“es˜on˜the˜pSŽoten“tial˜densit“y˜eld,‘*Dwhic“h˜can˜consequen“tlyŽ¡‘'giv¬re–.~rise“to“noise.›cGries“et“al.˜pšSŽoin¬rt“out“that“the“GM‘.mb˜olus“
uxes“can“b˜eŽ¡‘'idenš¬rtically–¹iwritten“as“a“sk˜ew“
ux“whic˜h“in˜v˜olv˜es“few˜er“dieren˜tial“opSŽerators.Ž¡‘'F‘ÿVurther,‘Nècomš¬rbining–:Üthe“sk˜ew“
ux“form˜ulation“and“Redi“sc˜heme,‘Nèsubstan˜tialŽ¡‘'cancellations–óÖtakš¬re“place“to“the“pSŽoin˜t“that“the“horizon˜tal“
uxes“are“unmoSŽdiedŽ¡‘'from–ê¨the“lateral“diusion“parameterization.ŽŽŽŒ‹* x€ ý¤€‘'ÈAdcroft–ê¨&“Hill‘^{Redi/GM/Gries“sc¬rheme“in“the“MIT“OGCM‘9ÕŒ¹2ŽŽ =€ ýç€‘'»2Ž‘D(ôRedi›zásc–ÿuÂheme:‘£ÖIsop“ycnal˜diusionŽŸb#‘'¹The–>NRedi“scš¬rheme“diuses“tracers“along“isop˜ycnals“and“in˜troSŽduces“a“term“inŽ©€‘'the–ê¨tendency“(rhs)“of“suc¬rh“a“tracer“(here“ó·ág£cmmi12¿‘W¹)“of“the“form:Ž¤¹1’Ãøó!",š
cmsy10Âr–ª¨“¿ŸÌÌó×2cmmi8ÀŽ‘ÚSóÂÖN cmbx12ÅKŸÌÌó2Ç@Écmbx8ÆRediŽ‘zYÂr¿Ž’ü|¹(1)ŽŽŽ¡‘'where–Çú¿ŸÌÌÀŽ‘¢M¹is“the“along“isopš¬rycnal“diusivit˜y“and“ÅKŸÌÌÆRediŽ‘BS¹is“a“rank“2“tensor“thatŽ¦‘'pro‘§jects–d÷the“gradienš¬rt“of“¿‘¼¹on˜to“the“isop˜ycnal“surface.‘§ÌThe“unappro˜ximatedŽ¦‘'pro‘§jection–ê¨tensor“is:ŽŸ&N„’q^ÅKŸÌÌÆRediŽ‘Ï«¹=ŸèfX‘URóú±u

cmex10«0ŽŸ™¦‘URBŽŸfi‘UR@ŽŽŸñfd‘S¹1–ª¨+“¿SŸÌÌÀxŽŽ‘?Ûý¿SŸÌÌÀxŽ‘Hç¿SŸÌÌÀyŽŽ‘ië!¿SŸÌÌÀxŽŽŽ¤ÿ‘&>¿SŸÌÌÀxŽ‘Hç¿SŸÌÌÀyŽŽ‘;ðÿ¹1–ª¨+“¿SŸÌÌÀyŽŽ‘j¿SŸÌÌÀyŽŽŽ¡‘A½¿SŸÌÌÀxŽŽ‘Fi¿SŸÌÌÀyŽŽ‘f€ÑÂj¿S‘²×ÂjŸû¥2ó|{Ycmr8½2ŽŽŽŽŸèfX‘~ØI«1ŽŸ™¦‘~ØICŽŸfi‘~ØIAŽŽŽŽ’ü|¹(2)ŽŽŽŸ&ù/‘'Here,‘gŽ¿SŸÌÌÀxŽ‘ž9¹=–URÂ¿@ŸÌÌÀxŽ‘Hç¿šn9=@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¿‘µ¹and‘FÇ¿SŸÌÌÀyŽ‘R_¹=“Â¿@ŸÌÌÀyŽ‘ý
¿˜=@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¿‘µ¹are–FÇthe“compSŽonen¬rts“of“the“isoneu-Ž¦‘'tral‘ê¨slopSŽe.Ž¦‘8ŸôThe–o9rst“pSŽoinš¬rt“to“note“is“that“a“t˜ypical“slopšSŽe“in“the“o˜cean“in¬rterior“isŽ¦‘'small,‘"”saš¬ry–eof“the“order“10Ÿû¥2ó¾KÈcmsy8Ã½4Ž‘\|¹.‘¿A‘Ymaxim˜um“slopSŽe“migh˜t“bSŽe“of“order“10Ÿû¥2Ã½2Ž‘sá¹andŽ¦‘'only–0dexceeds“suc¬rh“in“unstratied“regions“where“the“slopSŽe“is“ill“dened.‘
It“isŽ¦‘'therefore–§justiable,›µand“customary‘ÿV,˜to“makš¬re“the“small“slopSŽe“appro˜ximation,Ž¦‘'Âj¿S‘²×Âj–UR¿<<“¹1.‘8àThe–ê¨Redi“pro‘§jection“tensor“then“bSŽecomes:ŽŸ&ù0’¤Ê2ÅKŸÌÌÆRediŽ‘Ï«¹=ŸèfX‘UR«0ŽŸ™¦‘URBŽŸfi‘UR@ŽŽŸñfd‘fÁ¹1Ž‘*Ã¬0Ž‘A9y¿SŸÌÌÀxŽŽŽ¤ÿ‘fÁ¹0Ž‘*Ã¬1Ž‘A_f¿SŸÌÌÀyŽŽŽ¡‘S¿SŸÌÌÀxŽŽ‘'˜+¿SŸÌÌÀyŽŽ‘=Ï)Âj¿S‘²×ÂjŸû¥2½2ŽŽŽŽŸèfX‘V&¡«1ŽŸ™¦‘V&¡CŽŸfi‘V&¡AŽŽŽŽ’ü|¹(3)ŽŽŽŸ1’0‘'»3Ž‘D(ôGM‘záparameterizationŽŸb#‘'¹The–›½GM‘›parameterization“aims“to“parameterise“the“\adv•¬rectiv“e"–›½or“\trans-Ž¦‘'pšSŽort"–»>eect“of“geostrophic“eddies“b¬ry“means“of“a“\b˜olus"“v•¬relo˜cit“y‘ÿV,‘ïcÅuŸû¥2ÃŽ‘À¹.‘ª¡TheŽ¦‘'divš¬rergence–9%of“this“adv˜ectiv˜e“
ux“is“added“to“the“tracer“tendency“equation“(onŽ¦‘'the‘ê¨rhs):Ž¦’Ò§JÂr–ª¨“¿‘WÅuŸû™ÃŽŽ’ü|¹(4)ŽŽŽŸ=‘8ŸôThe–ê¨bšSŽolus“v•¬relo˜cit“y–ê¨is“dened“as:Ž¡’·i:¿uŸû™ÃŽŽŽ’ÌÙ9¹=ŽŽ’ßüÁÂ¿@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¿FŸÌÌÀxŽŽŽ’ü}¹(5)ŽŽŽ¤€’·üÈ¿vn9Ÿû™ÃŽŽŽ’ÌÙ9¹=ŽŽ’ßüÁÂ¿@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¿FŸÌÌÀyŽŽŽ’ü}¹(6)ŽŽŽ¡’µ`X¿wRªŸû™ÃŽŽŽ’ÌÙ9¹=ŽŽ’ßüÁ¿@ŸÌÌÀxŽ‘Hç¿FŸÌÌÀxŽ‘ó¹+‘ª¨¿@ŸÌÌÀyŽ‘ý
¿FŸÌÌÀyŽŽŽ’ü}¹(7)ŽŽŽŽŽŒ‹
ö x€ ý¤€‘'ÈAdcroft–ê¨&“Hill‘^{Redi/GM/Gries“sc¬rheme“in“the“MIT“OGCM‘9ÕŒ¹3ŽŽ =€ ýç€‘'where–€¿FŸÌÌÀxŽ‘Wg¹and“¿FŸÌÌÀyŽ‘¹are“stream-functions“with“bSŽoundary“conditions“¿FŸÌÌÀxŽ‘ž9¹=–UR¿FŸÌÌÀyŽ‘R_¹=“0Ž¤€‘'on–WéuppšSŽer“and“lo•¬rw“er–Wéb˜oundaries.‘€£The“virtue“of“casting“the“b˜olus“v•¬relo˜cit“y‘WéinŽ¡‘'terms––;of“these“stream-functions“is“that“they“are“automatically“non-div•¬rergen“tŽ¡‘'(¿@ŸÌÌÀxŽ‘Hç¿uŸû¥2ÃŽ‘uQ¹+–µM¿@ŸÌÌÀyŽ‘ý
¿vn9Ÿû¥2ÃŽ‘ž,¹=›oïÂ¿@ŸÌÌÀxzŽ‘   “•¿FŸÌÌÀxŽ‘þ4Â“¿@ŸÌÌÀyI{zŽ‘      G»¿FŸÌÌÀyŽ‘lü¹=˜Â¿@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¿wRªŸû¥2ÃŽ‘®¹).‘gÉ¿FŸÌÌÀxŽ‘  C2¹and–úK¿FŸÌÌÀyŽ‘÷X¹are“spSŽecied“in“termsŽ¡‘'of–ê¨the“isoneutral“slopSŽes“¿SŸÌÌÀxŽ‘      3¹and“¿SŸÌÌÀyŽ‘ý
¹:Ž¤£.’ÃG<¿FŸÌÌÀxŽŽŽ’Ú+S¹=ŽŽ’íNÛ¿ŸÌÌÀGMŽ‘#ˆ¿SŸÌÌÀxŽŽŽ’ü}¹(8)ŽŽŽŸ€’Ã“¿FŸÌÌÀyŽŽŽ’Ú+S¹=ŽŽ’íNÛ¿ŸÌÌÀGMŽ‘#ˆ¿SŸÌÌÀyŽŽŽ’ü}¹(9)ŽŽŽ¡‘'This–4/is“the“form“of“the“GM‘3Úparameterization“as“applied“b¬ry“Donabasaglu,Ž¤€‘'1997,–ê¨in“MOM“v¬rersions“1“and“2.ŽŸ"ª‘'óÂÖN ffcmbx12É3.1Ž‘KæcGries–ffSkŒÌew“FluxŽŸ@‘'¹Gries–™Dnotes“that“the“discretisation“of“bšSŽolus“v¬relo˜cities“in•¬rv“olv“es›™Dm“ultiple˜la“y-Ž¡‘'ers–ÝÊof“dierencing“and“in¬rterpšSŽolation“that“p˜oten¬rtially“lead“to“noisy“elds“andŽ¡‘'computational–!mošSŽdes.‘£JHe“p˜oin¬rted“out“that“the“b˜olus“
ux“can“b˜e“re-writtenŽ¡‘'in–ê¨terms“of“a“non-div•¬rergen“t–ê¨
ux“and“a“sk¬rew-
ux:ŽŸ'8‘'ÅuŸû™ÃŽ‘À¿ŽŽ‘C±m¹=ŽŽŸèfX‘VÔõ«0ŽŸ™¦‘VÔõBŽŸfi‘VÔõ@ŽŽŸñfd‘~TÂ¿@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¹(¿ŸÌÌÀGMŽ‘#ˆ¿SŸÌÌÀxŽ‘Hç¹)¿ŽŽ¤ÿ‘~³AÂ¿@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¹(¿ŸÌÌÀGMŽ‘#ˆ¿SŸÌÌÀyŽ‘ý
¹)¿ŽŽ¡‘d”ö¹(¿@ŸÌÌÀxŽ‘Hç¿ŸÌÌÀGMŽ–#ˆ¿SŸÌÌÀxŽ‘ó¹+‘ª¨¿@ŸÌÌÀyŽ›ý
¿ŸÌÌÀGMŽ“¿SŸÌÌÀyŽ˜¹)¿ŽŽŽŸèfX’äØu«1ŽŸ™¦’äØuCŽŸfi’äØuAŽŽŽŽŽŽŸ/ý‘C±m¹=ŽŽŸèfX‘VÔõ«0ŽŸ™¦‘VÔõBŽŸfi‘VÔõ@ŽŽŸñfd’ˆ ®Â¿@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¹(¿ŸÌÌÀGMŽ‘#ˆ¿SŸÌÌÀxŽ‘Hç¿‘W¹)ŽŽ¤ÿ’ˆÆ›Â¿@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¹(¿ŸÌÌÀGMŽ‘#ˆ¿SŸÌÌÀyŽ‘ý
¿‘W¹)ŽŽ¡‘d”ö¿@ŸÌÌÀxŽ–Hç¹(¿ŸÌÌÀGMŽ›#ˆ¿SŸÌÌÀxŽ“¿‘W¹)–ª¨+“¿@ŸÌÌÀyŽ–ý
¹(¿ŸÌÌÀGMŽ˜¿SŸÌÌÀyŽ“¹)¿‘W¹)ŽŽŽŸèfX’øÿ*«1ŽŸ™¦’øÿ*CŽŸfi’øÿ*AŽŽŽ’iÓ¹+ŸèfX‘ª¨«0ŽŸ™¦‘ª¨BŽŸfi‘ª¨@ŽŽŸñfd‘9RÜ¿ŸÌÌÀGMŽ‘#ˆ¿SŸÌÌÀxŽ‘Hç¿@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¿ŽŽ¤ÿ‘9xÉŸÌÌÀGMŽ‘#ˆ¿SŸÌÌÀyŽ‘ý
¿@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¿ŽŽ¡‘j©Â¿ŸÌÌÀGMŽ›#ˆ¿SŸÌÌÀxŽ–Hç¿@ŸÌÌÀxŽ“¿‘ÅÂ‘ª¨¿ŸÌÌÀGMŽ˜¿SŸÌÌÀyŽ–ý
¹)¿@ŸÌÌÀyŽ“¿ŽŽŽŸèfX’œó«1ŽŸ™¦’œóCŽŸfi’œóAŽŽŽŽŽŽŸ'8€‘'¹The–ÌKrst“vš¬rector“is“non-div˜ergen˜t“and“th˜us“has“no“eect“on“the“tracer“eldŽ¡‘'and–ê¨can“bšSŽe“dropp˜ed.‘8àThe“remaining“
ux“can“b˜e“written:Ž¤£.’±¹õÅuŸû™ÃŽ‘À¿‘¬o¹=‘URÂ¿ŸÌÌÆGMŽ–x5ÅKŸÌÌÆGMŽ“Âr¿Ž’˜€¹(10)ŽŽŽ¡‘'whereŽŸ¿ÿ’¥
éÅKŸÌÌÆGMŽ‘Í‡¹=ŸèfX‘UR«0ŽŸ™¦‘URBŽŸfi‘UR@ŽŽŸñfd‘fÁ¹0Ž‘*Ã¬0Ž‘=Ï)Â¿SŸÌÌÀxŽŽŽ¤ÿ‘fÁ¹0Ž‘*Ã¬0Ž‘=õÂ¿SŸÌÌÀyŽŽŽ¡‘S¿SŸÌÌÀxŽŽ‘'˜+¿SŸÌÌÀyŽŽ‘EËC¹0ŽŽŽŸèfX‘X§X«1ŽŸ™¦‘X§XCŽŸfi‘X§XAŽŽŽŽ’˜€¹(11)ŽŽŽŸ!Ø8‘'is–ê¨an“an¬rti-symmetric“tensor.Ž¤€‘8ŸôThis–}¦formš¬rulation“of“the“GM‘}€parameterization“in˜v˜olv˜es“few˜er“deriv‘ÿXäativ˜esŽ¡‘'than–-the“original“and“also“in•¬rv“olv“es–-only“terms“that“already“appSŽear“in“theŽ¡‘'Redi–GÁmixing“sc¬rheme.‘     P*Indeed,‘Ÿa“somewhat“fortunate“cancellation“bSŽecomesŽŽŽŒ‹X x€ ý¤€‘'ÈAdcroft–ê¨&“Hill‘^{Redi/GM/Gries“sc¬rheme“in“the“MIT“OGCM‘9ÕŒ¹4ŽŽ =€ ýç€‘'apparenš¬rt–¡!when“w˜e“use“the“GM‘ °parameterization“in“conjunction“with“theŽ©€‘'Redi–ê¨isoneutral“mixing“sc¬rheme:Ž¤Ý¡‘p^k¿ŸÌÌÀŽ–ÚSÅKŸÌÌÆRediŽ‘zYÂr¿‘ÅÂ›ª¨ÅuŸû™ÃŽ‘À¿‘¬o¹=‘UR(¿ŸÌÌÀŽ“ÅKŸÌÌÆRediŽ‘%¹+˜¿ŸÌÌÆGMŽ–x5ÅKŸÌÌÆGMŽ“¹)Âr¿Ž’˜€¹(12)ŽŽŽ¡‘'In–ê¨the“instance“that“¿ŸÌÌÀGMŽ‘xÚ¹=‘UR¿ŸÌÌÀŽ‘Äû¹thenŽŸ(x¥‘pí¿ŸÌÌÀŽ‘ÚSÅKŸÌÌÆRediŽ‘%¹+‘ª¨¿ŸÌÌÆGMŽ‘x5ÅKŸÌÌÆGMŽ‘Í‡¹=‘UR¿ŸÌÌÀŽŸèfX‘ÚQ«0ŽŸ™¦‘ÚQBŽŸfi‘ÚQ@ŽŽŸñfd‘Û¾¹1Ž‘7¥0Ž‘SÏÞ0ŽŽ¤ÿ‘Û¾0Ž‘7¥1Ž‘SÏÞ0ŽŽ¡‘šR2¿SŸÌÌÀxŽŽ‘0ý&¹2¿SŸÌÌÀyŽŽ‘M Âj¿S‘²×ÂjŸû¥2½2ŽŽŽŽŸèfX‘ek˜«1ŽŸ™¦‘ek˜CŽŸfi‘ek˜AŽŽŽŽ’˜€¹(13)ŽŽŽŸ'ró‘'whicš¬rh–ê¹diers“from“the“v‘ÿXäariable“laplacian“diusion“tensor“b˜y“only“t˜w˜o“non-zeroŽ¦‘'elemenš¬rts–ê¨in“the“¿z‘ˆã¹-ro˜w.Ž¤'ý^‘'»4Ž‘D(ôV‘þaGariable‘záó·ág£G®cmmi12ÊŸ—Œ¿GMŽŽŸb#‘'¹VisbšSŽec¬rk–Ñwet“al.,–+1996,“suggest–Ñwmaking“the“eddy“co˜ecien¬rt,–+¿ŸÌÌÀGMŽ‘#ˆ¹,“a‘ÑwfunctionŽ¦‘'of–*      the“Eady“groš¬rwth“rate,‘9áÂj¿f‘GÿÂj¿=ŸõãØÂpŽ‘
ŸõãØ‰zà
ûŸ
(¿RJiŽŽŽ‘ý¹.‘÷The“form˜ula“in˜v˜olv˜es“a“non-dimensionalŽ¦‘'constan¬rt,–ê¨¿¹,“and“a“length-scale“¿L¹:ŽŸ"E’½`«¿ŸÌÌÀGMŽ‘xÚ¹=‘UR¿LŸû™½2Ž‘ÀŸí®–‰fescŸQjŸ÷áÅ‘ÛÂj¿f‘GÿÂjŽ‘33ŸQm‰feýŸEŸõãØpŽ‘
ŸõãØ‰zà
ûŸ
(¿RJiŽŽŽŽŽŽ‘3gŸðwÀzŽŽŸ >â‘'¹where–g×the“Eady“groš¬rwth“rate“has“bSŽeen“depth“a˜v˜eraged“(indicated“b˜y“the“o˜v˜er-Ž¦‘'line).‘$CA‘¬ÀloSŽcal–¬ÐRicš¬rhardson“n˜um˜bSŽer“is“dened“¿RJi–UR¹=“¿N‘@äŸû¥2½2Ž‘è¿=¹(¿@–§u=@“z‘ˆã¹)Ÿû¥2½2Ž‘lÔ¹whic˜h,‘¹/whenŽ¦‘'comš¬rbined–ê¨with“thermal“wind“giv˜es:ŽŸ"M‹Ÿ÷áÅ’’ñÊ1Ž’[JŸQm‰fe
ûŸ¿RJiŽŽŽŽ’ ðÊ¹=Ÿ÷vD‘ˆ…(ŸûFu‘33À@xäuŽ‘33Ÿì½‰fe  ßŸð'P˜@xäzŽŽŽŽ‘E{¹)Ÿû¥2½2ŽŽ‘ˆ…Ÿ¼î‰fe)Ÿ‘_·¿N‘@äŸüˆ‰½2ŽŽŽŽŽ‘#:¹=Ÿõè‘ˆ…(ŸúØ/‘ÇÓÀgŽ‘33Ÿ[‰fe
~>Ÿð'f‘áÇŸóÍ¾Îcmmi6ÁoŽŽŽŽŽ‘ä¤Âjr¿n9Âj¹)Ÿû¥2½2ŽŽ‘ˆ…ŸK'‰fe5ŽÃŸ‘•¿N‘@äŸüˆ‰½2ŽŽŽŽŽ‘>ŸÍ¹=Ÿ÷áÅ‘Ì‡¿M‘@äŸû¥2½4ŽŽ‘ˆ…ŸQm‰fe!æñŸÂj¿f‘GÿÂjŸüˆ‰½2Ž‘À¿N‘@äŸüˆ‰½2ŽŽŽŽŽŽŸ!€‘'¹where–ži¿M‘@äŸû¥2½2Ž‘
ŸQ¹is“dened“¿M‘@äŸû¥2½2Ž‘
ˆ1¹=ŸúØ/‘ÓÀgŽ‘º|Ÿ[‰fe‡Ÿð'ŸÁoŽŽŽŽŽ‘tÎÂjr¿n9Âj¹.‘T$Substituting“inš¬rto“the“form˜ula“for“¿ŸÌÌÀGMŽŽ¦‘'¹giv¬res:ŽŸYî‘{{„¿ŸÌÌÀGMŽ‘xÚ¹=–UR¿šLŸû™½2Ž‘ÀŸîL‰feÅTŸð´Ÿ÷áÅ‘33¿M‘@äŸüˆ‰½2ŽŽ‘33ŸQm‰fe^îŸ‘Z¬¿NŽŽŽŽ‘…XŸðm-ÀzŽ‘ ¥X¹=“¿˜LŸû™½2Ž‘ÀŸîL‰fenêŸð´Ÿ÷áÅ‘33¿M‘@äŸüˆ‰½2ŽŽ‘33ŸQm‰fe^îŸ‘úª¿N‘@äŸüˆ‰½2ŽŽŽŽŽ‘ÅT¿NŽŽ‘#.îŸðm-ÀzŽ‘+Nî¹=“¿˜LŸû™½2Ž‘ÀŸõÌÑ‰feA
Ÿ
3/Âj¿S‘²×Âj¿NŽŽ‘Ÿø*²ÀzŽŽ¡‘'»5Ž‘D(ôT‘þaGap‘Š=ering–záand“stabilit‘ÿuÂyŽŸb#‘'¹ExpšSŽerience–-with“the“GFDL‘ÿæmo˜del“sho•¬rw“ed–-that“the“GM‘ÿæsc¬rheme“has“to“b˜eŽ¦‘'matcš¬rhed–to“the“con˜v˜ectiv˜e“parameterization.‘ì\This“w˜as“originally“expressed“inŽŽŽŒ‹#~ x€ ý¤€‘'ÈAdcroft–ê¨&“Hill‘^{Redi/GM/Gries“sc¬rheme“in“the“MIT“OGCM‘9ÕŒ¹5ŽŽ =€ ýç€‘'connection–Ûïwith“the“in¬rtrošSŽduction“of“the“KPP‘Ûëb˜oundary“la•¬ry“er›Ûïsc“heme˜(LargeŽ¤€‘'et–Šal.,›ñÖ97)“but“infact,˜as“subsequen¬rt“expšSŽerience“with“the“MIT‘‰•mo˜del“hasŽ¡‘'found,–ê¨is“necessary“for“anš¬ry“con˜v˜ectiv˜e“parameterization.Ž¡‘8ŸôDeep›†~con•¬rv“ection˜sites˜and˜the˜mixed˜la“y“er˜are˜indicated˜b“y˜homogenized,Ž¡‘'unstable–hçor“nearly“unstable“stratication.‘
 The“slopšSŽes“b˜ecome“in“suc¬rh“regionsŽ¡‘'are–MÃinnite,‘¦Švš¬rery“large“with“a“sign“rev˜ersal“or“simply“v˜ery“large.‘  b2F‘ÿVrom“aŽ¡‘'n•¬rumerical›ÚpSŽoin“t˜of˜view,‘ølarge˜slopSŽes˜lead˜to˜large˜v‘ÿXäariations˜in˜the˜tensorŽ¡‘'elemenš¬rts–6(implying“large“bSŽolus“
o˜w)“and“can“bSŽe“n˜umerically“unstable.‘£‰ThisŽ¡‘'wš¬ras–Árst“reognized“b˜y“Co˜x,–1987,“who–Áimplemen˜ted“\slopSŽes“clipping"“in“theŽ¡‘'isopš¬rycnal–~Ìmixing“tensor.‘õKHere,‘£Õthe“slopSŽe“magnitude“is“simply“restricted“b˜yŽ¡‘'an–ê¨uppSŽer“limit:ŽŸ¬‘p¢Âjr¿n9ÂjŽŽ’’h¢¹=ŽŽ’¥Œ*ŸôMÖ«qŽ’¯Œ+ŸôMÖ‰fe&KTŸ²*¿Ÿüˆ‰n9½2ŽŸnêÀxŽŽ‘ó¹+‘ª¨¿Ÿüˆ‰n9½2ŽŸnêÀyŽŽŽŽŽŽŽ’˜¹(14)ŽŽŽŸ·‘s£K¿SŸÌÌÀlKimŽŽŽ’’h¢¹=ŽŽ’¥Œ*ÂŸ÷áÅ‘•Ÿjr¿n9ÂjŽ‘33ŸQm‰fe‹kŸ¿SŸÌÌÀmaxŽŽŽŽŽ‘5œa¹where–ê¨¿SŸÌÌÀmaxŽ‘<"¹is“a“parameterŽŽŽ’˜(15)ŽŽŽŸ
‘|Œ¹¿Ÿû™n9À?ŽŸëÚzŽŽŽŽ’’h¢¹=ŽŽ’¥Œ*¿min¹(¿ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¿;‘ÿþSŸÌÌÀlKimŽ‘
‹f¹)ŽŽ’˜(16)ŽŽŽŸ;‘gFJ[¿sŸÌÌÀxŽ‘Hç¿;‘ÿþsŸÌÌÀyŽ‘ý
¹]ŽŽ’’h¢=ŽŽ’¥Œ*ÂŸ÷áÅ‘33¹[¿ŸÌÌÀxŽ‘Hç¿;‘ÿþŸÌÌÀyŽ‘ý
¹]Ž‘33ŸQm‰fe#kîŸ‘È¿Ÿüˆ‰n9À?ŽŸnêzŽŽŽŽŽŽŽŽ’˜¹(17)ŽŽŽŸDi‘'Notice–«that“this“algorithm“assumes“stable“stratication“through“the“\min"Ž¡‘'function.‘ÍÀIn–qthe“case“where“the“
uid“is“w¬rell“stratied“(¿ŸÌÌÀzŽ‘   ·¿<‘; SŸÌÌÀlKimŽ‘
‹f¹)“then“theŽ¡‘'slopSŽes–ê¨ev‘ÿXäaluate“to:ŽŸs’¹óé[¿sŸÌÌÀxŽ‘Hç¿;‘ÿþsŸÌÌÀyŽ‘ý
¹]Ž’Þk“=‘URÂŸ÷áÅ‘33¹[¿ŸÌÌÀxŽ‘Hç¿;‘ÿþŸÌÌÀyŽ‘ý
¹]Ž‘33ŸQm‰fe#kîŸ‘ùÊ¿ŸÌÌÀzŽŽŽŽŽŽ’˜€¹(18)ŽŽŽŸýZ‘'while–ê¨in“the“limited“regions“(¿ŸÌÌÀzŽ‘ ¿>‘URSŸÌÌÀlKimŽ‘
‹f¹)“the“slopšSŽes“b˜ecome:ŽŸÚŸ’µ;Ž[¿sŸÌÌÀxŽ‘Hç¿;‘ÿþsŸÌÌÀyŽ‘ý
¹]Ž’Ù³8=Ÿ÷áÅ‘
ë‹[¿ŸÌÌÀxŽ‘Hç¿;‘ÿþŸÌÌÀyŽ‘ý
¹]Ž‘ˆ…ŸQm‰fe61úŸÂjr¿n9Âj¿=SŸÌÌÀmaxŽŽŽŽŽŽ’˜€¹(19)ŽŽŽŸ"Þ
‘'so–ê¨that“the“slopSŽe“magnitude“is“limited“Ÿôæ_«qŽ‘
ê©Ÿôæ_‰fe#ÐŽŸ¡¿sŸüˆ‰½2ŽŸnêÀxŽŽ‘ó¹+‘ª¨¿sŸüˆ‰½2ŽŸnêÀyŽŽŽŽŽ‘5‰¹=‘UR¿SŸÌÌÀmaxŽ‘Qz¹.ŽŸÕY‘8ŸôEvš¬ren–¶using“slopSŽe“clipping,‘ó¿it“is“normally“the“case“that“the“v˜ertical“diusionŽ¡‘'term–ªâ(with“coSŽecienš¬rt“¿ŸÌÌÀŽ–ÚSÅKŸÌÌ½33Ž‘
œ‹¹=‘œƒ¿ŸÌÌÀŽ“¿SŸû¥2‘²×½2ŽŸRAÀmaxŽŽ‘Qz¹)–ªâis“large“and“m˜ust“bšSŽe“time-stepp˜edŽ¡‘'using–8an“implicit“prošSŽcedure“(see“section“on“discretisation“and“co˜de“later).Ž¡‘'Fig.‘ÇÅ??Ž‘o$¹shoš¬rws–“]the“mixed“la˜y˜er“depth“resulting“from“a)“using“the“GM‘“Gsc˜hemeŽ¡‘'with–vÐclipping“and“b)“no“GM‘v²scš¬rheme“(horizon˜tal“diusion).‘CThe“classic“resultŽ¡‘'of–  zdramatically“reducd“mixed“la•¬ry“ers– zis“evidenš¬rt.‘•WIndeed,‘/the“deep“con˜v˜ectionŽ¡‘'sites–meto“just“one“or“t•¬rw“o›mepSŽoin“ts˜eac“h˜and˜are˜m“uc“h˜shallo“w“er˜than˜w“e˜migh“tŽ¡‘'prefer.ŽŽŽŒ‹/^ x€ ý¤€‘'ÈAdcroft–ê¨&“Hill‘^{Redi/GM/Gries“sc¬rheme“in“the“MIT“OGCM‘9ÕŒ¹6ŽŽ =€ þ<€Ÿã‘'Figure–J±1:‘øñMixed“la•¬ry“er–J±depth“using“GM‘J˜parameterization“with“a)“Co¬rx“slopSŽeŽ¤€‘'clipping–ê¨and“for“comparison“b)“using“horizonš¬rtal“constan˜t“diusion.Ž¡‘'Å??ŽŽŽŸD€Ÿî€‘'¹Figure–¥2:‘tÚEectiv¬re“slopšSŽe“as“a“function“of“\true"“slop˜e“using“a)“Co¬rx“slop˜eŽŸ€‘'clipping,–ê¨b)“GKW91“limiting,“c)“DM95“limiting“and“d)“LDD97“limiting.ŽŽŸ ‘8ŸôThis–$ýit“turns“out“is“due“to“the“o•¬rv“er–$ýzealous“restratication“due“to“theŽ¤€‘'b•SŽolus›ê¨transp“ort˜parameterization.Ž¡‘8ŸôGerdes–ê¨et“al.,“1991“....Ž¡‘8ŸôDanabasoglu–ê¨and“McWilliams,“1995“....Ž¡‘8ŸôLarge–ê¨et“al.,“1997“....Ž¡‘8ŸôIssue:‘8àshould–ê¨GM“and“Redi“bšSŽe“tap˜ered?‘8àcf“con•¬rv“ectiv“e‘ê¨pap˜erŽ¡‘8ŸôIssue:›8àis–ê¨adiabtic“impSŽortan¬rt“in“these“regions?˜c¬rhanges“discretizationŽŸ(V‘'»6Ž‘D(ôDiscretisation–záand“co‘Š=deŽŸb#‘'¹The–Á9Genš¬rt-McWilliams-Redi“parameterization“is“implemen˜ted“through“theŽ¡‘'pacš¬rk‘ÿXäage–â§\gmredi".‘65There“are“t˜w˜o“necessary“calls“to“\gmredi"“routines“otherŽ¡‘'than–0¢initialization;‘SŸ1)“to“calculate“the“slopSŽe“tensor“as“a“function“of“the“cur-Ž¡‘'ren¬rt–‘°moSŽdel“state“(Ågmredi‘ÏZ‰ffÏŽ–Ü)calc‘ÏZ‰ffÏŽ“tensor¹)–‘°and“2)“ev‘ÿXäaluation“of“the“lateral“andŽ¡‘'vš¬rertical–’Û
uxes“due“to“gradien˜ts“along“isop˜ycnals“or“bšSŽolus“transp˜ort“(Ågm-Ž¡‘'redi‘ÏZ‰ffÏŽ–Ü)xtranspš`ort¹,‘ê¨Ågmredi‘ÏZ‰ffÏŽ“ytransp˜ort–ê¨¹and“Ågmredi-rtransp˜ort¹).Ž¡‘8ŸôEac•¬rh›?Åelemen“t˜of˜the˜tensor˜is˜discretised˜to˜bSŽe˜adiabatic˜and˜so˜that˜thereŽ¡‘'w¬rould–G·bšSŽe“no“
ux“if“the“gmredi“op˜erator“is“applied“to“buo•¬ry“ancy–ÿV.‘PT“o‘G·ac•¬rheiv“eŽ¡‘'this–©–wš¬re“ha˜v˜e“to“consider“bSŽoth“these“constrain˜ts“for“eac˜h“ro˜w“of“the“tensor,ŽŸ:ÕTŸî€‘'Figure– 3:‘ÑEectivš¬re“slopSŽe“magnitude“at“100“m“depth“ev‘ÿXäaluated“using“a)“Co˜xŽ¡‘'slopSŽe–òŠclipping,›$)b)“GKW91“limiting,˜c)“DM95“limiting“and“d)“LDD97“limiting.ŽŽŽŽŒ‹<z x€ ý¤€‘'ÈAdcroft–ê¨&“Hill‘^{Redi/GM/Gries“sc¬rheme“in“the“MIT“OGCM‘9ÕŒ¹7ŽŽ =€ ýç€‘'eac•¬rh›ê¨ro“w˜corresp•SŽonding˜to˜a˜'u',˜'v'˜or˜'w'˜p“oin¬rt˜on˜the˜mo“del˜grid.ŽŸGgÏ‘8ŸôThis–ê¨is“the“old“doSŽcumen¬rtation.....Ž¤€‘8ŸôThe–ßEcoSŽde“that“implemenš¬rts“the“Redi/GM/Gries“sc˜hemes“in˜v˜olv˜es“anŽ¡‘'original– "core“routine“Åinc‘ÏZ‰ffÏŽ‘Ü)tracer()“¹that“is“used“to“calculate“the“tendencyŽ¡‘'in–Ô§the“tracers“(namely‘ÿV,‘'salt“and“pšSŽoten¬rtial“temp˜erature)“and“a“new“routineŽ¡‘'ÅRediT‘þàensor()–ê¨¹that“calculates“the“tensor“compSŽonen¬rts“and“¿ŸÌÌÀGMŽ‘#ˆ¹.ŽŸ"Ê«‘'É6.1Ž‘Kæcsubroutine‘ffRediT‘þ¦fensor()ŽŸYš‘'ó#ßê<x
ó3
cmtt10Îsubroutine–¿ªRediTensor(Temp,Salt,Kredigm,K31,K32,K33,“nIter,DumpFlag)Ž¤
™š’¥xœ|---in--|‘¿ª|-------out-------|Ž¡‘'!‘¿ªInputŽ¡‘'real–¿ªTemp(Nx,Ny,Nz)‘¾R!“Potential“temperatureŽ¡‘'real–¿ªSalt(Nx,Ny,Nz)‘¾R!“SalinityŽ¡‘'!‘¿ªOutputŽ¡‘'real–¿ªKredigm(Nx,Ny,Nz)‘T!“Redi/GM“eddy“coefficientŽ¡‘'real–¿ªK31(Nx,Ny,Nz)‘"}ü!“Redi/GM“(3,1)“tensor“componentŽ¡‘'real–¿ªK32(Nx,Ny,Nz)‘"}ü!“Redi/GM“(3,2)“tensor“componentŽ¡‘'real–¿ªK33(Nx,Ny,Nz)‘"}ü!“Redi/GM“(3,3)“tensor“componentŽ¡‘'!–¿ªAuxiliary“inputŽ¡‘'integer–¿ªnIter‘?<N!“interation/time-step“numberŽ¡‘'logical–¿ªDumpFlag‘-ýP!“flag“to“indicate“routine“should“``dump''ŽŸ€‘8Ÿô¹The–ÿÁsubroutine“ÅRediT‘þàensor()“¹is“called“from“Åmo`del()“¹with“input“argu-Ž¤€‘'menš¬rts–òÅ¿T‘”‹¹and“¿S‘²×¹.‘Q8It“returns“the“3D-arra˜ys“ó$ß†µTcmtt12ÏKredigm¹,‘™˜Ÿü÷x¿Ž–ôÍ¹K31,“ÏK32–òÅ¹and“ÏK33“¹whic˜hŽ¡‘'represenš¬rt–œ[¿ŸÌÌÀGMŽ‘¿ã¹(at“¿T‘N8=S‘O2¹pSŽoin˜ts)“and“the“three“compSŽonen˜ts“of“the“bSŽottom“ro˜wŽ¡‘'in–ê¨the“Redi/GM“tensor;“2¿SŸÌÌÀxŽ‘Hç¹,“2¿SŸÌÌÀyŽ‘çµ¹and“Âj¿S‘²×ÂjŸû¥2½2Ž‘ª¬¹respšSŽectiv¬rely‘ÿV,“all“at“¿W‘Œn¹p˜oin¬rts.Ž¡‘8ŸôThe––Îdiscretisations“and“algorithm“within“ÅRediT‘þàensor()“¹are“as“follo¬rws.Ž¡‘'The–Æroutine“rst“calculates“the“lošSŽcally“reference“p˜otenš¬rtial“densit˜y“¿ŸÌÌÀŽ‘ ÆW¹fromŽ¡‘'¿T‘ËN¹and–)ˆ¿S‘Ü_¹and“calculates“the“pSŽotenš¬rtial“densit˜y“gradien˜ts“in“subroutine“Ågrad-Ž¡‘'Sigma()¹:ŽŽŽŒ‹DÃ x€ ý¤€‘'ÈAdcroft–ê¨&“Hill‘^{Redi/GM/Gries“sc¬rheme“in“the“MIT“OGCM‘9ÕŒ¹8ŽŽ =€ þ
«ùŸÚúj¤ÿ‘J‘]Arra¬ryŽ‘tCÆGrid-pSŽoin¬rtŽ’¶†{DenitionŽŽ¡‘MøÏSigXŽ’Šý¬¹UŽ’¶†{¿ŸÌÌÀxŽ‘ž9¹=ŸûFu‘W¥½1Ž‘ˆ…Ÿì½‰feÞCŸð'ÀxŽŽŽŽ‘™û¿ŸÌÌÀxŽ‘Hç¿n9ÂjŸÝßÀzV…½(Àk6…½)ŽŽŽ¡‘MøÏSigYŽ’Šý¬¹VŽ’¶†{¿ŸÌÌÀyŽ‘R_¹=ŸûFu‘1¸½1Ž‘ˆ…Ÿì½‰fe’iŸð'ÀyŽŽŽŽ‘N!¿ŸÌÌÀyŽ‘ý
¿n9ÂjŸÝßÀzV…½(Àk6…½)ŽŽŽŸ×ö‘MøÏSigZŽ’‰[æ¹WŽ’¶†{¿ŸÌÌÀzŽ‘ ¹=ŸûFu‘ˆ½1Ž‘ˆ…Ÿì½‰fe`
Ÿð'ÀzŽŽŽŽ‘Â¹[¿šn9ÂjŸÝßÀzV…½(Àk6…½)Ž‘
¸¹(¿k‘ÅÂ–ª¨¹1¿=¹2)“Â“¿˜ÂjŸÝßÀzV…½(Àk6…½)Ž‘
¸¹(¿k‘Å¹+“1¿=¹2)]ŽŽ¡ŽŽŽŸ2L‘8ŸôNote–jÓthat“¿ŸÌÌÀzŽ‘
5¹is“the“static“stabilit¬ry“bšSŽecause“the“p˜oten¬rtial“densities“areŽ¤€‘'referenced–ê¨to“the“same“reference“levš¬rel“(¿W‘¡Æ¹-lev˜el).Ž¡‘8ŸôThe–;next“step“calculates“the“three“tensor“compSŽonen¬rts“ÏK13¹,‘O8ÏK23“¹and“ÏK33Ž¡‘'¹in–gˆsubroutine“ÅKtensorWface()¹.‘¯€First,‘†Àthe“lateral“gradien¬rts“¿ŸÌÌÀxŽ‘       °o¹and“¿ŸÌÌÀyŽ‘      d•¹areŽ¡‘'in¬rterpšSŽolated–ê¨to“the“¿W‘Œn¹p˜oinš¬rts“and“stored“in“in˜termediate“v‘ÿXäariables:Ž¤€’Ê<[ÏSxŽŽ’à•õ¹=ŽŽ’ó¹}Ÿ÷[‰fe?zŸ¤ïŸù¢&‰feö“Ÿ]Ú¿ŸÌÌÀxŽŽŽ‘ö“ŸüxŽŽŽ’ø÷Ÿù¸òzŽŽŽŽŸ€’Ê<[ÏSyŽŽ’à•õ¹=ŽŽ’ó¹}Ÿ÷[‰fe§ÆŸ¤ïŸù¢&‰feª¹Ÿ]Ú¿ŸÌÌÀyŽŽŽ‘ª¹ŸüyŽŽŽ’aCŸù¸òzŽŽŽŽ¡‘'¹Next,–ê¨the“magnitude“of“ÂrŸÌÌÀzŽ‘Ê®¿‘Xá¹is“stored“in“an“in¬rtermediate“v‘ÿXäariable:ŽŸb’¸iFÏSxy2Ž’ÔqÌ¹=‘URŸó¼«qŽ‘
USŸó¼‰fe0¬ŸùDÏSxŽ‘YšŸûÕV½2Ž‘ÄF¹+‘ª¨ÏSyŽ‘BŸûÕV½2ŽŽŽŽŽ¡‘'¹The–IXstratication“(¿ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¹)“is“\c•¬rhec“k“ed"›IXsuc“h˜that˜the˜slopSŽe˜v“ector˜has˜magnitudeŽ©€‘'less–ê¨than“or“equal“to“ÏSmax“¹and“stored“in“an“in¬rtermediate“v‘ÿXäariable:Ž¡’£™ÏSzŽ’³Gø¹=‘URmaxŽŽ‘3|(¿ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¿;‘ÿþÂÏSxy2/SmaxŽ‘7“5¹)Ž¡‘'This–a7guaranš¬rtees“stabilit˜y“and“at“the“same“time“retains“the“lateral“orien˜tationŽ¦‘'of–ê¨the“slopšSŽe“v¬rector.‘8àThe“tensor“comp˜onen¬rts“are“then“calculated:Ž¡’žwáÏK13ŽŽ’ºþH¹=ŽŽ’Î!ÐÂ¹2ÏSx¿=ÏSzŽŽŽŽ¤€’žwáK23ŽŽ’ºþH¹=ŽŽ’Î!ÐÂ¹2ÏSx¿=ÏSzŽŽŽŽ¡’žwáK33ŽŽ’ºþH¹=ŽŽ’Î!Ð(ÏSx¿=ÏSzŽ–“0¹)Ÿû™½2Ž‘j¬¹+‘ª¨(ÏSy¿=ÏSzŽ“¹)Ÿû™½2ŽŽŽŽ¤€‘8Ÿô¹Finally‘ÿV,‘ßHÏKredigm–œp¹(¿ŸÌÌÀGMŽ‘#ˆ¹)“is“calculated“in“subroutine“ÅGMRediCo`ecien t()¹.Ž¦‘'First,‘Kall–7Êthe“gradienš¬rts“are“in˜terpšSŽolated“to“the“¿T‘N8=S‘ê¡¹p˜oin¬rts“and“stored“in“in-Ž¦‘'termediate‘ê¨v‘ÿXäariables:Ž¡’Ì¡²ÏSxŽŽ’âûL¹=ŽŽ’öÔŸù¢&‰feö“Ÿ]Ú¿ŸÌÌÀxŽŽŽ’gŸû™xŽŽŽŽ¤€’Ì¡²ÏSyŽŽ’âûL¹=ŽŽ’öÔŸù¢&‰feª¹Ÿ]Ú¿ŸÌÌÀyŽŽŽ’ÉŸû™yŽŽŽŽ¡’Ì¡²ÏSzŽŽ’âûL¹=ŽŽ’öÔŸù¢&‰fexZŸ]Ú¿ŸÌÌÀzŽŽŽ’—.Ÿû™zŽŽŽŽŽŽŒ‹    Mr x€ ý¤€‘'ÈAdcroft–ê¨&“Hill‘^{Redi/GM/Gries“sc¬rheme“in“the“MIT“OGCM‘9ÕŒ¹9ŽŽ =€ ýç€‘'Again,‘a–Snominal“stratication“is“found“bš¬ry“\c˜hec˜k"“the“magnitude“of“theŽ©€‘'slopSŽe–ê¨vš¬rector“but“here“is“con˜v˜erted“to“a“Brun˜t-V‘ÿVasala“frequency:ŽŸ4’˜æ^ÏM2ŽŽ’¯?ø¹=ŽŽ’Âc€Ÿó¼«qŽ’ÌcŸó¼‰fe0¬ŸùDÏSxŽ‘YšŸûÕV½2Ž‘ÄF¹+‘ª¨ÏSyŽ‘BŸûÕV½2ŽŽŽŽŽŽŽŸéH’˜æ^ÏN2ŽŽ’¯?ø¹=ŽŽ’Âc€ÂŸ÷áÅ‘…¿gŽ‘33ŸQm‰fe
«4ŸŸÌÌÀoŽŽŽŽŽ‘˜¹maxŽŽ‘$ïÂ(ÏSzŽ‘Yš¿;‘ÿþÂÏM2¿=ÏSmaxŽŽŽŽ¤©2‘'¹The–magnitude“of“the“slopSŽe“is“then“Âj¿S‘²×Âj–Rª¹=“ÏM2Ž‘¬D¿=ÏN2Ž‘Yš¹.‘÷eThe–Eady“gro¬rwth“rate“isŽŸÙœ‘'dened–ê¨as“Âj¿f‘GÿÂj¿=Ÿóó.«qŽ‘
Ÿóó.‰fe‘ÄŸÒ¹(ŽŽŽ‘‘Å¿RJi¹)–UR=“Âj¿S‘²×Âj¿N‘+Œ¹and–ê¨is“calculated“as:ŽŸ’º»'ÏFrRiŽ’ÖÃ¹=Ÿ÷áÅ‘ˆ…ÏM2Ž‘ˆ…ŸQm‰feYšŸN2ŽŽŽŽ‘R¹(ÂŸ÷áÅ‘3¥¿gŽ‘33ŸQm‰fetŸŽŽŽŽ‘uÚÏSzŽ‘Ït¹)Ž¡‘'The–ž'Eady“groš¬rwth“rate“is“then“a˜v˜eraged“o˜v˜er“the“uppSŽer“la˜y˜ers“(abSŽout“1100m)Ž¦‘'and–ê¨¿ŸÌÌÀGMŽ‘0¹spSŽecied“from“this“2D-v‘ÿXäariable:ŽŸ˜ ’‹aŽÏKredigmŽ’¹ð{¹=‘UR0¿:¹02–ª¨Â“¹(200¿d¹3“Â“¹2)“Â“ÏFrRiŽŽŸ"\ï‘'É6.2Ž‘Kæcsubroutine‘ffinc‘øÒ‰ffÜ+Ž‘Ôýtracer()ŽŸ@‘'Åinctracer()–ê¨¹is“called“from“Åmo`del()“¹and“has“ó'›»ˆ@cmti12Òfour‘35new“¹argumen¬rts:Ž¤Ò‘'Ïsubroutine–,Íinc_tracer(“...,Kredigm,K31,K32,K33,“...“)Ž¦‘'real–,ÍKredigm(Nx,Ny,Nz)‘Yš!“Eddy“coefficientŽ¦‘'real–,ÍK31(Nx,Ny,Nz)‘%Î!“(3,1)“tensor“coefficientŽ¦‘'real–,ÍK32(Nx,Ny,Nz)‘%Î!“(3,2)“tensor“coefficientŽ¦‘'real–,ÍK33(Nx,Ny,Nz)‘%Î!“(3,3)“tensor“coefficientŽ¡‘8Ÿô¹Within–the“routine,›¤ the“lateral“
uxes,˜ÏfluxWest“¹and“ÏfluxSouth¹,˜in“theŽ¦‘'Redi/GM/Gries–Y1scš¬rheme“are“v˜ery“similar“to“the“con˜v˜en˜tional“horizon˜tal“dif-Ž¦‘'fusion–|9terms“except“that“the“diusion“coSŽecien¬rt“is“a“function“of“space“andŽ¦‘'mš¬rust–ê¨bSŽe“in˜terpšSŽolated“from“the“¿T‘N8=S‘¹p˜oin¬rts:Ž¤˜ ’Ž¬ßÏfluxWestŽ’ÀG¹(¿‘W¹)ŽŽ’Ù¨8=ŽŽ’ìËÀ¿:–ÿþ:“:Ž’ýA¹+‘ª¨Ÿ÷w|‰fe+9›Ÿˆ„ÏKredigmŽŽ‘-äCŸùÕ]ÀxŽ‘3-*¿@ŸÌÌÀxŽ‘Hç¿ŽŽŽŸ€’ˆ€ÏfluxSouthŽ’ÀG¹(¿‘W¹)ŽŽ’Ù¨8=ŽŽ’ìËÀ¿:–ÿþ:“:Ž’ýA¹+‘ª¨Ÿ÷w|‰fe+9›Ÿˆ„ÏKredigmŽŽ‘-äCŸùÕ]ÀyŽ‘2áP¿@ŸÌÌÀyŽ‘ý
¿ŽŽŽ¡‘8Ÿô¹The–œpRedi/GM/Gries“scš¬rheme“adds“three“terms“to“the“v˜ertical“
ux“(ÏfluxUpper¹)Ž¦‘'in–ê¨the“tracer“equation.‘8àIt“is“discretise“simply:Ž¡‘C7µÏfluxUpperŽ‘zÊê¹(¿›W¹)–UR=“¿:–ÿþ:“:Ž‘Êš¹+‘ª¨Ÿ÷w|‰fe+9›Ÿˆ„ÏKredigmŽŽ‘-äCŸùÕ]ÀzŽ‘4®ïŸôf`«Ž‘:§ÓÏK13Ž‘M.:Ÿöw}‰feî4Ÿ    ˆƒ¿@ŸÌÌÀxŽ‘Hç¿ŽŽ‘_nŸøÕ^ÀxzŽ‘kZ«¹+‘ª¨ÏK23Ž‘1Ÿöw}‰fe¢ZŸ   ˆƒ¿@ŸÌÌÀyŽ‘ý
¿ŽŽ‘&ÓiŸøÕ^ÀyI{zŽ‘2ÅÌ¹+‘ª¨ÏK33Ž‘1¿@ŸÌÌÀzŽ‘Ê®¿˜Ÿôf`«ŽŽŽ¡‘'¹On–ê¨bSŽoundaries,“ÏfluxUpper“¹is“set“to“zero.ŽŽŽŒ‹
X2 x€ ý¤€‘'ÈAdcroft–ê¨&“Hill‘^{Redi/GM/Gries“sc¬rheme“in“the“MIT“OGCM‘3õ¹10ŽŽ =€ ýç€‘'»7Ž‘D(ôOutstanding‘záissues?ŽŸb#‘'¹A‘ù»second–úinnoš¬rv‘ÿXäation“discussed“b˜y“Gries“concerns“the“nonlinearit˜y“in“theŽ¤€‘'equation–Ë…of“state“and“its“implication“for“the“ev‘ÿXäaluation“of“the“isoneutralŽ¡‘'slopšSŽes.‘"vHe–§jargues“that“Âr¿‘£¹should“b˜e“written“Âr¿‘Ã‹¹=‘UR¿ŸÌÌÀoŽ‘›À¹(¿‘ªOÂr¿S‘Ô(Â‘!Q¿Âr¿˜¹)“so“that,Ž¡‘'for–ê¨example,“the“zonal“slopšSŽe“b˜ecomes:ŽŸÈã’¹ˆ†¿SŸÌÌÀxŽ‘ž9¹=Ÿ÷áÅ‘ˆ…¿@ŸÌÌÀxŽ–Hç¿‘þ6Â‘ª¨¿‘ªO@ŸÌÌÀxŽ“¿SŽ‘ˆ…ŸQm‰feB7‹Ÿ~9‘ªO@ŸÌÌÀzŽ–Ê®¿S‘]Â‘ª¨¿@ŸÌÌÀzŽ“¿ŽŽŽŽŽŸ"Fœ‘'¹where–h¿‘há¹=ŸûFu‘¬½1Ž‘ˆ…Ÿì½‰fe‡Ÿð'ÀŸÁoŽŽŽŽŽŸúØ/‘v
À@xäŽ‘v
Ÿ[‰fe      MŠŸð'a@xäŽŽŽŽ‘/¹and“¿‘ÿ¡¹=ŸûFu‘¬½1Ž‘ˆ…Ÿì½‰fe‡Ÿð'ÀŸÁoŽŽŽŽŽŸúØ/‘ÒÀ@xäŽ‘v
Ÿ[‰fe
‘Ÿð'@xäSŽŽŽŽ‘O¾¹are“lošSŽcally“ev‘ÿXäaluated.‘ñËHe“also“adv¬ro˜cates“a“v¬reryŽ¡‘'complicated–BÝinš¬rterpSŽolation“sc˜heme“whic˜h“he“calls“the“\triads"“sc˜heme.‘A~BothŽ¡‘'of–X*these“innoš¬rv‘ÿXäations“are“designed“to“o˜v˜ercome“computational“moSŽdes“and“atŽ¡‘'the–ê¨same“time“makš¬re“the“sc˜heme“Òmor‘ÿffe“¹adiabatic.Ž¡‘8ŸôCompared–„lto“the“currenš¬rt“implemen˜tation“out-lined“abSŽo˜v˜e,‘êÝthe“GriesŽ¡‘'innoš¬rv‘ÿXäations–à+requires“t˜w˜o“non-linear“equations“to“replace“the“equation“of“state,Ž¡‘'tš¬rwice–e‹as“man˜y“dierences“bSŽecause“of“the“explicit“expressions“with“¿‘¹¹and“¿S‘²×¹,Ž¡‘'and–©da“m•¬ruc“h–©dwider“stencil“(ie.‘
um•¬ruc“h–©dmore“computation)“for“the“\triads"Ž¡‘'in¬rterpSŽolation.Ž¡‘8ŸôW‘ÿVe›7)ha•¬rv“e˜not˜implemen“ted˜these˜aspSŽects˜of˜Gries˜sc“hemes˜on˜the˜basisŽ¡‘'that–Åfthe“additional“computational“costs“and“coSŽde“complexit¬ry‘ÿV,›so“far,˜out•¬rw“eighŽ¡‘'the–ê¨immediate“bSŽenets.ŽŽŽŒøc-ƒ’À;èx€
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